【ファラデーの電磁誘導の法則】難し目の典型問題で効率的に慣れる

　ここでは大学入試に出がちな少し難し目の問題を解きます。ざっと眺めるだけで力がつくよう、問題はシンプルにしていますが奥深い内容です。

実際、2025年度の共通テストにもこの内容に類する問題が出ています。

問題の共通部分

次の問題を考えていきます。

一方の導体棒のみを動かす

　一見難しそうではあるのですが、ほぼ公式通りです。ので、解はシンプルに記載し、その後の解説で言葉を足していきます。

解

(1)

$$V=v_0Bl$$

(2)

$$I = \frac{V}{(R_a+R_b)} = \frac{v_0Bl}{R_a+R_b}$$

(3)

$$V_a = IR_a = \frac{R_a}{R_a+R_b}v_0Bl$$

$$V_b = IR_b = \frac{R_b}{R_a+R_b}v_0Bl$$

(4)

$$F_a = lIB = \frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v_0$$

$$F_b = lIB = \frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v_0$$

(5)

棒bが磁界から受ける力 $F_b$ と同じだけの力を加えればよいから、

$$F_0 = F_b = \frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v_0$$

仕事率はこれに速さ $v_0$ を掛けて、

$$P_0 = F_0v_0 = \frac{(v_0Bl)^2}{R_a+R_b}$$

解説

　回路に生じる起電力 $V=v_0Bl$ (問題(1))や、導体棒が磁界から受ける力 $F_a=F_b=lIB$ (問題(4))は公式として覚えておきましょう。または下記の記事↓に従い、すぐに導けるようにしておきましょう。

その上で、回路に流れる電流 $I$ (問題(2))や抵抗にかかる電圧 $V_a$, $V_b$ (問題(3))は回路の基本として難なく解きたいです。

そして、導体棒を一定の速さ $v_0$ で動かせているのは、導体棒が磁界から受ける力 $F_a$ と外力 $F_0$ がつり合っているから(問題(5))です。

仕事率 $P_0$ (問題(5))はおまけですが、力の大きさに速さを掛けて得られます(向きが同じ場合)。なお、この仕事率は次の計算からわかる通り、ジュール熱に等しいです。

$$\begin{eqnarray} I^2(R_a+R_b) &=& \left(\frac{v_0Bl}{R_a+R_b}\right)^2\, (R_a+R_b)\\ &=& \frac{(v_0Bl)^2}{R_a+R_b} \end{eqnarray}$$

つまり、外力がした仕事がそのままジュール熱になっているということです。この発想に類するものが後ほど(7)に出てきます。

一方を動かし、他方が追いかける

解

(6)

振る舞い

　導体棒aが右に動き出し、速度が $v_0$ になったところでその速度で右側に動き続ける。

理由

　拘束中及び解いた瞬間には、前問(4)より導体棒aには右側に $F_a$ の力が働いている。従って、拘束を解けば導体棒aは右側に動き出す。

右側に動き出した導体棒aには誘導起電力が生じる。

この誘導起電力は回路の電流を小さくする向きに働いており、導体棒aが加速するにつれ電流は小さくなる。

そして、導体棒aの速度が $v_0$ になると電流は $0$ になり磁界から力を受けなくなるため、その速度を保つ。

解説

　この振る舞いは正確には次のように微分方程式を解きますが、これは大学範囲のため、高校範囲では上記が解答となります。

以下は参考：実際に微分方程式を解く

運動方程式と電磁力の式より

$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} m\displaystyle\frac{dv}{dt}=liB\cdots ①\\ i=\displaystyle\frac{v_0Bl-vBl}{R_a+R_b}\cdots ② \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

②を①に代入して $t=0$ のとき $v=0$ を用いると、

$$\begin{eqnarray} m\frac{dv}{dt} &=& \frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}(v_0-v)\\ \therefore\;v &=& v0\left(1-e^{-\frac{(Bl)^2}{m(R_a+R_b)}t}\right) \end{eqnarray}$$

このグラフは下記のようになります。ミソは、

$t\to\infty$ のとき、$v\to v_0$

です。

動かしていた導体棒を止める

解

(7)

エネルギー保存の法則より、導体棒が持っている運動エネルギーがジュール熱 $Q$ に変わったと考えられるから、

$$Q=\frac{1}{2}mv_0^2$$

解説

　真面目に解くと次のようになりますが、これも高校範囲を超えるので、エネルギー保存の法則を用いることで十分です。エネルギー保存の法則は、そもそも運動方程式を式変形したものに過ぎないからです。↓の記事を参考にしてください。

真面目に解く

　ある時刻 $t$ において導体棒aの速度が $v$ だとすると、このときの回路で消費する電力 $p$ は、

$$p=\frac{(vBl)^2}{R_a+R_b}\cdots ①$$

一方、導体棒aの運動方程式は、(4)と同様に考えて、

$$m\frac{dv}{dt}=-\frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v\cdots ②$$

求めるジュール熱 $Q$ は、回路で消費する電力 $p$ の時間総和なので、①を $t=0$ から $t=\infty$ まで積分すれば得られる。

ここで式の途中で②を代入することに注意して、予め②を次のように変形しておく。

$$m\frac{dv}{dt}\cdot v\, dt=-\frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v\cdot v\, dt\cdots ②^\prime$$

ゆえに、

$$\begin{eqnarray} Q &=& \int_{t=0}^{t=\infty} p\, dt = \int_{t=0}^{t=\infty} \frac{(vBl)^2}{R_a+R_b}\, dt\\ &=& -\int_{v=v_0}^{v=0}mv\, dv\quad\because ②^\prime\\ &=& -\frac{1}{2}m\left[v^2\right]_{v_0}^0\\ &=& \frac{1}{2}mv_0^2 \end{eqnarray}$$

まとめ

　電磁誘導の典型問題を考えました。公式そのものの部分もありますし、そこから発展させて考える部分もありますが、おおむねこの形を基本として展開されていきます。

展開の例としては、今回は導体棒bを何らかの外力で引っ張っていますが、これが坂道重力であるもの、また今回の回路は抵抗のみでしたが、これがコンデンサやコイルになっているものです。

それらを解く際にも、ここの問題が基礎になりますので、何回も目を通して慣れてください。

一つの展開例として、2025年度の共通テストがあります。

また、誘導起電力と電磁力の公式については下記の記事↓で詳しく扱っています。