【点と平面の距離】公式に加え、法線ベクトルを使って楽に求める

　単に点と平面の距離を求めるだけだと公式があります。しかし公式を忘れても解けるよう、原理原則を理解します。原理原則が分かっていれば応用が利きます。例えば、「垂線の足の座標を求めよ」や、「平面に対して対称な点の座標を求めよ」なども簡単です。

これは、平面版「点と直線の距離」の空間版です。平面版は下記↓に載せていますので、この記事と見比べてください。なんや同じやん、と思えればGoodです。

公式の確認とここで理解したい式

公式の確認

　まずは公式を確認します。これは「点と直線の距離」の公式の拡張版と理解できます。上側に「点と直線の距離」を、下側に「点と平面の距離」を載せます。

ここで理解したい式：射影ベクトル

　ここで理解したい式は↓です。

点 $\mathrm{H}$ は点 $\mathrm{P}$ から下した垂線の足です。点 $\mathrm{Q}$ は平面上の任意の点です。平面上ならどこでもよいです。どこでもよいのにちゃんと定まった値 $d$ が得られるのは一見すると不思議ですが、ちゃんと理解できます。$\overrightarrow{n}$ は法線ベクトルです。この式と上で述べた公式が一致すれば、この記事の目的は達成です。

公式で解く

　まずは公式を用いて問題を解くとどうなるのかをここで示し、その後理解したい式を解説していきます。

　平面の式は $ax+by+cz+d=0$ の形にしておく必要があります。

解

平面の式は $x+2y+2z-2=0$ であるから、求める距離 $d$ は

$$\begin{eqnarray} d &=& \frac{|1\cdot(-2)+2\cdot(-1)+2\cdot 0-2|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{9}}\\ &=& 2 \end{eqnarray}$$

理解したい式：射影ベクトル

　どこでもいいのであらかじめ平面上の点を一つ選んでおきます。扱いやすい数字を選びます。この場合は点 $\mathrm{Q}(0,1,0)$ としてみましょう。点 $\mathrm{Q}$ は平面上の点ならどこでもよいのですが、その理由は解説で述べています。

解

　平面 $\alpha : x+2y+2z=2$ 上の点の一つ $(0,1,0)$ を $\mathrm{Q}$ と置く。

平面 $\alpha$ の法線ベクトルの一つを $\overrightarrow{n}$ と置くと、$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$。

ここで、$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$ であり、点 $\mathrm{P}$ から平面 $\alpha$ に下した垂線の足を $\mathrm{H}$ と置くと、

$$\begin{eqnarray} d &=& |\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = \frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}\\ &=& \frac{\left|\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|}\\ &=& \frac{6}{3}\\ &=& 2 \end{eqnarray}$$

解説

　まずは一気通貫のアニメーションで解の気持ちを見てみましょう。左右は同じ図で、見る角度を変えています。

次に、ステップ・バイ・ステップで見ていきます。

1. 問題文の図示

　まずは問題文の図示です。平面の方程式が $x+2y+2z=2$ であることから法線ベクトルの一つ $\overrightarrow{n}$ は $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ です。

点 $\mathrm{P}$ の座標は $(-2,-1,0)$ で $\mathrm{H}$ が求めたい垂線の足です。

2. 横から見た図

　垂直がよくわかるように横から見た図にします。

この後法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ と $\mathrm{P}$ を始点にしたベクトル $(\overrightarrow{\mathrm{PQ}})$ との内積を取るので、その様子がよくわかるように法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ の始点を $\mathrm{P}$ に移動します。

3. $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{\mathrm{PH}}||\overrightarrow{n}|$

　最終的には $|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|$ を求めたいのですが、まずはダミー的に平面上の点 $\mathrm{Q}$ を持ってきて $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ と $\overrightarrow{n}$ とで内積を取ります。

点 $\mathrm{Q}$ はダミーとはいえ、しっかりと平面上の点なので $\overrightarrow{n}$ との内積を取ることで $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{H}$ に集約されていきます。

この、「集約されていく」という表現は、次の内積の計算をイメージ化したものです。

$$\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n} &=& |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}||\overrightarrow{n}|\cos\angle{\mathrm{QPH}}\\ &=& |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|\cos\angle{\mathrm{QPH}}\cdot|\overrightarrow{n}|\\ &=& |\overrightarrow{\mathrm{PH}}||\overrightarrow{n}|\quad(\angle{\mathrm{QPH}}\le 90^\circ\;\text{のとき}) \end{eqnarray}$$

ここで $\angle{\mathrm{QPH}}>90^\circ$ のときも含めて書くと、

$$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}| = |\overrightarrow{\mathrm{PH}}||\overrightarrow{n}|$$

です。

この記事↓で詳しく扱っています（該当箇所ジャンプはこちら）。

4. $|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$

$$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}| = |\overrightarrow{\mathrm{PH}}||\overrightarrow{n}|$$

より

$$|\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = \frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$$

となります。

公式の証明

$$|\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = \frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$$

が理解できれば公式を証明するのは簡単です。用いる条件式を整理すると、

• 平面 $\alpha:\; ax+by+cz+d=0$
• 点 $\mathrm{P}:\; (x_0,y_0,z_0)$
• 法線ベクトル $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
• 平面上の点 $\mathrm{Q}:\; (x_1,y_1,z_1)$ $$\cdots\; ax_1+by_1+cz_1+d=0\;\text{を満たす}\tag{1}\label{p5602eq1}$$

なので、

$$\begin{eqnarray} d &=& |\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = \frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}\\ &=& \frac{\left|\begin{pmatrix}x_1-x_0\\y_1-y_0\\z_1-z_0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\right|}\\ &=& \frac{|a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(z_1-z_0)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ &=& \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\quad(\because\eqref{p5602eq1}) \end{eqnarray}$$

別解：ベクトル方程式

　こちらもおススメです。こちらは少し計算が増えますが、理解がしやすくまた応用範囲が広いです。ベクトル方程式自体は↓の記事で解説しています。

解

　平面 $\alpha : x+2y+2z=2$ の法線ベクトルの一つを $\overrightarrow{n}$ と置くと、$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$。

点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$ から平面 $\alpha$ に下した垂線の足を $\mathrm{H}$ と置くと直線 $\mathrm{PH}$ の方程式は媒介変数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\tag{2}\label{p5602eq2}$$

これを平面 $\alpha$ の式に代入して、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} (-2+t)+2(-1+2t)+2(0+2t)=2\tag{3}\label{p5602eq3}\\ \therefore\; t=\displaystyle\frac{2}{3} \end{array} \end{eqnarray}$$

ゆえに、

$$\begin{eqnarray} |\overrightarrow{\mathrm{PH}}| &=& \frac{2}{3}\left|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|\\ &=& \frac{2}{\cancel{3}}\cancel{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\\ &=& 2 \end{eqnarray}$$

解説

　ここでもまずは一気通貫のアニメーションで解の気持ちを見てみます。

ここではカギになるベクトル方程式の部分から見ていきます。

1. ベクトル方程式

　直線 $\mathrm{PH}$ は、点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$ を通り、方向ベクトルが $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ なので、

$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\y\\x\end{pmatrix} &=& \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t\overrightarrow{n}\\ &=& \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

です。

2. 平面 $\alpha$ との交点を求める

　点 $\mathrm{H}$ はこの直線と平面 $\alpha$ との交点です。この交点を与える $t$ の値を求めるには、直線の式を平面の式に代入して $t$ を求めます。それが式$\eqref{p5602eq3}$で、再掲すると

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} (-2+t)+2(-1+2t)+2(0+2t)=2\tag{3：再掲}\\ \therefore\; t=\displaystyle\frac{2}{3} \end{array} \end{eqnarray}$$

です。

3. $t$ が求まれば $|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|$ が求まる

$\overrightarrow{\mathrm{PH}} = t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ であり、$t$ が求まったので、$|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|$ は求まります。

$t=\displaystyle\frac{2}{3}$ より、

$$\begin{eqnarray} |\overrightarrow{\mathrm{PH}}| &=& \frac{2}{3}\left|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|\\ &=& \frac{2}{\cancel{3}}\cancel{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\\ &=& 2 \end{eqnarray}$$

です。

まとめ

　点と直線との距離を求めました。公式を使えばすぐに答えは出ますが、公式だけに頼るよりはこのように自力で求められるようにしておくと、公式を忘れても求められますし、また応用も利きます。

応用で言えば例えば点 $\mathrm{H}$ の座標を求めよ、なんて言われても大丈夫ですよね。

$$|\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = 2$$

より、

$$\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{PH}} &=& |\overrightarrow{\mathrm{PH}}|\;\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|} = 2\;\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|} = 2\;\frac{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|}\\ &=& \frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

と出るので、$\mathrm{P}(-2,-1,0)$ とから

$$\mathrm{H}(-\frac{4}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{3})$$

と求められます。あるいは式$\eqref{p5602eq2}$に $t=\displaystyle\frac{2}{3}$ を代入していることと同じです。

また、「対称な点を求めよ」なら、$t=\displaystyle\frac{2}{3}$ の2倍の $t=\displaystyle\frac{4}{3}$ を式$\eqref{p5602eq2}$に代入すれば求まります。

今回は空間ベクトルで解説しましたが、これの平面ベクトル版も同様です。↓の記事です。