【二次関数：面積】ここまでできれば達人級 難問だけど良問の高校入試 面積問題 4選

　前作↓に引き続き、二次関数面積問題の高校入試を取り上げます。今回も難問ですが、ここまで読み進めた方はだいぶ様子が分かってきたかと思います。ダメ押しで挑戦しましょう。

問題1：22年 四天王寺

イメージ

解

四角形 $\mathrm{OCAB} = \triangle\mathrm{CAP}$ となるためには、
$\triangle\mathrm{OCB} = \triangle\mathrm{PCB}$ となればよい。

すなわち、点 $\mathrm{P}$ は

• 直線 $\mathrm{AB}: y=\displaystyle\frac{1}{2}x-6$ と、
• 点 $\mathrm{O}$ を通り傾き $\mathrm{CB}$ に平行な直線: $y=-\displaystyle\frac{1}{2}x$

との交点である。よって、

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y &=& \displaystyle\frac{1}{2}x-6\\ y &=& -\displaystyle\frac{1}{2}x \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

を解いて、

$$\mathrm{P}(6,-3)$$

解説. 等積変形

　$\triangle\mathrm{OCB} = \triangle\mathrm{PCB}$ となればよいことに気づけば、あとは等積変形の考え方で出すことができます。「気づけば」と書きましたが、気づくためには等積変形のアイデアを知っている必要があるので、卵が先か鶏が先か、等積変形の考え方をしっかりとマスターすることが大事です。↓のパターン1です。

問題2：22年 成蹊

まずは四角形 $\mathrm{OACB}$ の面積を求めます。
そして、その面積と同じになるように $\triangle\mathrm{PBC}$ を定めます。
これにも、等積変形の考え方を用います。

イメージ_前編：四角形 $\mathrm{OACB}$ の面積

解_前編：四角形 $\mathrm{OACB}$ の面積

四角形 $\mathrm{OACB}$ を 2つの三角形に分けて考える。

$\triangle\mathrm{OAB}$ の面積

直線 $\mathrm{AB}$ の切片は $8$ なので
$\quad (\rightarrow\text{解説1:切片を丁寧に求める})$

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{OAB} &=& 8\times \{4-(-8)\}\times\frac{1}{2}\\ &=& 8\times 12\times\frac{1}{2}\\ &=& 48 \end{eqnarray}$$

$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積

点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標と同じ $x$ 座標を持つ $y=x+24$ 上の点 $\mathrm{A}^\prime$ は、

$$\mathrm{A}^\prime (4, 28)$$

であるから、

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{ABC} &=& (28-4)\times (36-16)\times\frac{1}{2}\\ &=& 24\times 20\times\frac{1}{2}\\ &=& 240 \end{eqnarray}$$

四角形 $\mathrm{OACB}$ の面積

よって、

$$\begin{eqnarray} \text{四角形}\mathrm{OACB} &=& \triangle\mathrm{OAB} + \triangle\mathrm{ABC}\\ &=& 48 + 240\\ &=& 288 \end{eqnarray}$$

解説1. $\mathrm{AB}$ の切片を丁寧に求める

2つの求め方を示します。一つは直線の式を出す方法、もう一つは絵を書いて求める方法です。

直線の式を出す方法

直線 $\mathrm{AB}$ の式は

$$\begin{eqnarray} y &=& \frac{4-(-8)}{4-16}(x-4)+4\\ &=& \frac{12}{-12}(x-4)+4\\ &=& -(x-4)+4\\ &=& -x+8 \end{eqnarray}$$

なので、ここから、切片 $8$ を得ることができます。

絵を書いて求める方法

下記のような絵を書いて、切片 $8$ を得ることができます。

イメージ_後編：点 $\mathrm{P}$ の座標

解_後編：点 $\mathrm{P}$ の座標

$\triangle\mathrm{PBC}=288$ となる点 $\mathrm{P}$ を求めたいのだが、
その前に $y$ 軸上に $\triangle\mathrm{QBC}=288$ となる点 $\mathrm{Q}$ を取る。

点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(0,t)$ と置くと、

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{QBC} &=& (24-t)\times 20\times\frac{1}{2}\\ &=& 10(24-t) \end{eqnarray}$$

であり、これが $288$ になればよいから、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} 10(24-t) = 288\\ 24-t = \displaystyle\frac{288}{10}\\ \end{array} \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} \therefore\; t &=& 24-\displaystyle\frac{288}{10}\\ &=& -\frac{48}{10}\\ &=& -\frac{24}{5} \end{eqnarray}$$

$$\therefore\;\mathrm{Q}(0,\frac{24}{5})$$

点 $\mathrm{P}$ は、点 $\mathrm{Q}$ を通り $\mathrm{BC}$ に平行な直線と $x$ 軸との交点であるが、$\mathrm{BC}$ の傾きは $1$ なので、

$$\mathrm{P}(\frac{24}{5},0)$$

となる。

問題3：21年 四天王寺

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解

$\mathrm{CP}:\mathrm{PB}=1:2$ より　$\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{PAB}=1:2$。

$\triangle\mathrm{ABC}$ を半分にするには $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積が $3$ に対してそれぞれ $1.5$ ずつに分けられれば良いので、下記のような点 $\mathrm{Q}$ を取ればよい。

すなわち、

$$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=1:3$$

となる点 $\mathrm{Q}$ を取ればよいから、

$$\mathrm{Q}(-\frac{11}{2},-\frac{49}{4})$$

$\rightarrow\text{解説1:内分点}$

解説1. 頂点を通らない直線での面積分割

↓記事のパターン3です。

解説2. 点 $\mathrm{Q}$ の座標を丁寧に求める：内分点

ここでは、素直に絵を書いて求める方法と、少し公式じみた方法とで求めます。

素直に絵を書いて求める

$\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は

$$-8+10\times\frac{1}{4}=-8+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

$\mathrm{Q}$ の $y$ 座標は

$$16-15\times\frac{1}{4}=16-\frac{15}{4}=\frac{64}{4}-\frac{15}{4}=\frac{49}{4}$$

少し公式じみた方法：内分点

$\mathrm{Q}$ の座標を $Q$ と書きます。$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ も同様に書くと、

$$\begin{eqnarray} Q &=& \frac{3A+B}{4}\\ &=& \frac{3\times(-8,16)+1\times(2,1)}{4}\\ &=& \frac{(-24,48)+(2,1)}{4}\\ &=& \frac{(-22,49)}{4}\\ &=& (-\frac{11}{2},\frac{49}{4}) \end{eqnarray}$$

解説

$Q = \displaystyle\frac{3A+B}{4}$ は重み付きの平均（加重平均）であり、「内分点」を表します。$\mathrm{A}$ 側に $3$ の重みがあり、$\mathrm{B}$ 側に $1$ の重みがあることを表します。図を見ると、重みが逆じゃないか？と思うかもしれませんが、点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{A}$ の方に寄っているので、$\mathrm{A}$ の重みの方が重く、この式で合っていることが分かると思います。

この「内分点」の考え方は、↓の記事でも少し登場しています（記事内[解答4]）。

問題4：21年 西大和学園

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解

$\triangle\mathrm{CAD}<\triangle\mathrm{CAB}$ より、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上にある。

さらに、

$$\triangle\mathrm{CAD}:\triangle\mathrm{CAB}=5:6$$

であるから、$\triangle\mathrm{CAP}$ が $\triangle\mathrm{CAB}$ の $6$ の面積の内、$0.5$ だけ受け持てばよい。すなわち、下記の図のようであればよい。

つまり、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{AP}:\mathrm{PB} &=& 0.5:5.5\\ &=& 1:11 \end{eqnarray}$$

$\therefore\;\mathrm{P}(-3.5,-7.5)$

$(\rightarrow\text{解説1:よく見れば素直な数})$

よって、求める直線の式は

$y = \displaystyle\frac{33}{13}x+\displaystyle\frac{18}{13}$

$(\rightarrow\text{解説2:直線の式を丁寧に求める})$

[$\mathrm{P}$ 付近の拡大図]

解説1. よく見れば素直な数

$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:11$ なんて数を見て、「中途半端で嫌だな、合っているのかな」と思ってしまいますよね。でもよくよく見ると、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{AB} の x 座標の差 &=& 12\\ \mathrm{AB} の y 座標の差 &=& 6 \end{eqnarray}$$

であり、$1:11$ と非常に相性が良いことが分かります。

解説2. 直線の式を丁寧に求める

点 $\mathrm{C}(3,9)$ と点 $\mathrm{P}(-3.5,-7.5)$ の2点を通る直線を求めればよいから、次のように求められます。すなわち、

$$\begin{eqnarray} y &=& \frac{9-(-7.5)}{3-(-3.5)}(x-3)+9\\ &=& \frac{16.5}{6.5}(x-3)+9\\ &=& \frac{33}{13}(x-3)+9\\ &=& \frac{33}{13}x-\frac{33}{13}\times 3+\frac{13}{13}\times 9\\ &=& \frac{33}{13}x-\frac{3\times(33-13\times 3)}{13}\\ &=& \frac{33}{13}x-\frac{3\times (-6)}{13}\\ &=& \frac{33}{13}x+\frac{18}{13} \end{eqnarray}$$

と、求められます。このとき、２つほどコメントします。

最初の式の書き出し

一つは、最初の式の書き出しです。2つの点の座標から

$$y = \frac{9-(-7.5)}{3-(-3.5)}(x-3)+9$$

と書いてしまいましょう。この書き出しができれば、あとはイコールでつないで一行で求められます。これは↓の記事で述べていますのでまだ見ていない方は是非見てください。

途中の式での工夫

もう一つは、途中の式での工夫です。

$$-\frac{33}{13}\times 3+9$$

を計算する際、決して

$$\frac{-99+117}{13}$$

という通分をしていないことです。分子は $3$ で因数分解できるので、そのよう工夫をすることで計算が楽になります。すなわち、速く正確に計算ができます。

まとめ

　二次関数は高校入試で頻出です。中でも面積を絡めた問題は非常に多いです。ここまで3編に渡り解説してきました。#1でしっかりとパターンをマスターし、#2,#3でその使われ方を見て、あとは自分の持っている問題集でも問題を解いてみてください。#1,#2はこちら↓です。#3は本稿です。