【二次関数：面積】高校入試の応用問題 頻出難問 パターン5選

　二次関数に面積が絡んだ問題は頻出です。面積の部分は平面図形の知識を使って解くため複合的であり、苦手意識を持つ人も多いと思います。しかし特によく出るパターンは限られているため、そのパターンをしっかりと練習することが重要です。その練習も、アニメーションでイメージ化しているため理解が容易で繰り返し楽に復習できます。

ここでは特に頻出するパターンを5つ選びました。そして、全ての前提になる問題としてパターン0を持ってきました。実際の入試ではこのパターン0の問題が出された上でそれぞれのパターンのどれかが出てくるという構図なので、まずはパターン0は必ず正解するようにしましょう。

他のパターンももちろんありますが、ここのパターンを基礎として広げていくことで地に足ついた骨太の学力が身につくことでしょう。

この記事の後は、ぜひこちら↓にも挑戦してください。星光、西大和、成城、奈良大付属の難関校4校の問題を取り上げました。それぞれここで見る5選がどのように使われるのか、よくわかります。

パターン0. すべての始まりはここから

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(1) 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ の座標を求めよ。

解

$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} y = x^2\\ y = x+2 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

より $y$ を消去して、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} x^2=x+2\\ x^2-x-2=0\\ (x-2)(x+1)=0\\ x=-1,\, 2 \end{array} \end{eqnarray}$$

$$\therefore\;\mathrm{A}(-1,1),\;\mathrm{B}(2,4)$$

(2) $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積を求めよ。

解

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{OAB} &=& 2\times (1+2)\times\frac{1}{2}\\ &=& 3 \end{eqnarray}$$

解説

$$\triangle\mathrm{OAB}=\triangle\mathrm{OAC}+\triangle\mathrm{OBC}$$

と分けて考えます。$\mathrm{C}$ の座標が $(0,2)$ であることより $\mathrm{OC}=2$ なので、

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{OAC} &=& 2\times 1\times\frac{1}{2}\\ \triangle\mathrm{OBC} &=& 2\times 2\times\frac{1}{2} \end{eqnarray}$$

です。

よって、

$$\begin{eqnarray} \therefore\; \triangle\mathrm{OAB} &=& \triangle\mathrm{OAC}+\triangle\mathrm{OBC}\\ &=& 2\times (1+2)\times\frac{1}{2} \end{eqnarray}$$

です。この式をそのまま解釈する絵は↓のようになります。

パターン1. 等積変形

　高さが同じなら面積は同じです。頂点を通り底辺に平行な線を引けば、その線上を頂点が動く限り、高さは変わりません。

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解. $\triangle\mathrm{OAB}$ と同じ面積になる $y=x^2$ 上の点

求める点は、$y=x^2$ と直線 $y=x$ との交点(#1)及び $y=x+4$ との交点(#2)であるから、

#1. $y=x$ との交点 $\mathrm{P}$

$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} y = x^2\\ y = x \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

より $y$ を消去して、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} x^2 = x\\ x^2-x = 0\\ x(x-1) = 0\\ \therefore\; x=0,1 \end{array} \end{eqnarray}$$

より、$x=1$ ($\because x=0$ は点 $\mathrm{O}$)

$$\therefore\;\mathrm{P}(1,1)$$

#2. $y=x+4$ との交点 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$

$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} y = x^2\\ y = x+4 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

より $y$ を消去して、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} x^2 = x+4\\ x^2-x-4 = 0\\ \therefore\; x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{array} \end{eqnarray}$$

より、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{Q}\left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2},\displaystyle\frac{9-\sqrt{5}}{2}\right)\\ \mathrm{R}\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2},\displaystyle\frac{9+\sqrt{5}}{2}\right) \end{eqnarray}$$

解説. 底辺と平行に頂点が動く限り、面積は変わらない

　言われればその通りですが、この発想はよく使います。求めにくい面積を求めやすくするためにも使います。

例えば↓の問題2や問題3でもそのアイデアを使っています。

裏側も忘れないように

　裏側は、傾きが同じで切片の差の分だけさらに移動したものです。
この例では $y=x$ と $y=x+2$ の切片の差 $2$ だけさらに上側に移動させて $y=x+4$ です。

パターン2. 面積は高さに比例

　底辺共通なので、面積半分とは、高さが半分です。頂点を通り底辺に平行な線に対して真ん中に平行線を引けば、 高さが半分です。
今度は、$\mathrm{AOB}$ 上の点と限定されているので、裏側は考えなくてよいです。

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解. 真ん中に平行線を引く

求める点は、$y=x^2$ と直線 $y=x+1$ との交点であるから、

$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} y = x^2\\ y = x+1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

より $y$ を消去して、

$$\begin{eqnarray} \begin{array} .x^2=x+1\\ x^2-x-1=0\\ x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{array} \end{eqnarray}$$

よって、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{Q}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\\ \mathrm{R}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \end{eqnarray}$$

パターン3. 頂点を通らない直線での面積分割 定点編

イメージ

　前半で直線が彷徨さまよっていますが、ここで表現したいのは、直線が決まれば（直線を決めれば）面積は決まる、ということです。この発想は「解2」で述べます。

解1. 図形的発想

解

明らかに $\triangle\mathrm{OAC}<\triangle\mathrm{OBC}$ より、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OB}$ 上にある。

このとき、

$\mathrm{AP}$ で 四角形 $\mathrm{OACP}$ を分ける。すると、
$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=1:2$ より、
$\triangle\mathrm{OAB}$ は下図のように分けられることになる。

($\rightarrow$ 発想を丁寧に：解説1-1)

すなわち

$$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:1$$

であり、$\mathrm{OC}=2$ より、

$$\mathrm{OD}=\mathrm{DC}=1$$

$$\therefore\;\mathrm{D}(0,1)$$

よって、$\mathrm{P}$ の $y$ 座標は $1$ であることが分かり、
直線 $\mathrm{OB}$ は $y=2x$ であるから、

$$\mathrm{P}(\displaystyle\frac{1}{2}, 1)$$

よって、求める直線 $\mathrm{CP}$ は、

$$y=-2x+2$$

解説1-1. $\triangle\mathrm{OAB}$ を分割する発想について

　分割する支点(この場合の点 $\mathrm{C}$)が頂点でない場合は片一方が四角形になってしまいますが、四角形を三角形2つに分けて考えるとうまくいく場合が多いです。

今回の場合では $\triangle\mathrm{OAB}$ を二等分したいわけですが、

$$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=1:2$$

なので、

$$\triangle\mathrm{ACP}:\triangle\mathrm{BCP}=1:2$$

です。すると、残りの $\triangle\mathrm{OAP}$ があと $1$ の面積を受け持ってくれればいいことが分かります。

従って、『$\triangle\mathrm{OAB}$ は下図のように分けられることになる。』という回答の文言になります。

解説1-2. 一応公式的なものはある

　分割する支点が頂点でない場合でも、一応公式的なものはあります。それは、

です。今回のケースに当てはめれば $\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{BAO}=1:2$ にしたいので、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} 1:2 = 2\times\mathrm{BP}:3\times\mathrm{BO}\\ \mathrm{BP}:\mathrm{BO} = 3:4\\ \therefore\;\mathrm{BP}:\mathrm{PO} = 3:1 \end{array} \end{eqnarray}$$

となり、$\mathrm{P}$ の座標が

$$\mathrm{P}(\,\displaystyle\frac{1}{2}, 1\,)$$

と求まります。

しかし、この公式はそれほど出番も多くないため、解説1-1で述べたような考え方をマスターする方をおススメします。

解2. 強引な解き方

　解1のような図形的発想が思い浮かべばもちろんその方が計算量も少なくて良いですが、思い浮かばないことも珍しくないと思います。そのような時でも強引な解き方を身につけておけば、とりあえず答えは出ます。入試では必ずしも美しく解く必要はないので、最後の手段としてこのような手を持っておくと強いです。また、この後のパターン4の問題は、端はなから強引に解かないといけません。

解

明らかに $\triangle\mathrm{OAC}<\triangle\mathrm{OBC}$ より、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OB}$ 上にある。すなわち、$y=2x$ 上にある。従って、点 $\mathrm{P}$ の座標は

$$\mathrm{P}(k,2k)$$

と置ける。

($\rightarrow$ パラメータ表示：解説2)

このとき、

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{PBC} &=& \triangle\mathrm{OBC}-\triangle\mathrm{OPC}\\ &=& 2\times 2\times\frac{1}{2}-2\times k\times\frac{1}{2}\\ &=& 2-k \end{eqnarray}$$

これが $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積 $3$ の半分になればよいから、

$$\begin{eqnarray} 2-k &=& \frac{3}{2}\\ \therefore\; k&=&\frac{1}{2} \end{eqnarray}$$

よって、

$$\mathrm{P}(\displaystyle\frac{1}{2}, 1)$$

ゆえに、求める直線 $\mathrm{CP}$ は、

$$y=-2x+2$$

解説2. パラメータ表示に慣れると強い

　解答では求める点 $\mathrm{P}$ の座標を

$$\mathrm{P}(k,2k)$$

と置きました。これは、点 $\mathrm{P}$ が直線 $y=2x$ 上にあるためで、仮に点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標を $x=k$ だとすると、$y$ 座標は $y=2k$ となるためです。

このように、ある直線や図形上の点を、$k$ などといった $x$, $y$ とは異なる文字を介して表現する方法を

• パラメータ表示

または日本語で

• 媒介変数表示

と言います。強引解法の強い味方です。ぜひ練習してみてください。

パターン4. 頂点を通らない直線での面積分割 平行線編

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解. 強引に解くしかない

　美しい解き方が思い浮かばなかったので、強引に解きます。イメージアニメーションでのメッセージは、直線が決まれば（直線を決めれば）面積は決まる、ということです。

解

$y=1$ と $\mathrm{OB}$ の交点を $\mathrm{P}$ と置くと、

明らかに $\triangle\mathrm{OAP}<\triangle\mathrm{BAP}$ より、直線 $y=k$ は $y=1$ より上であり、かつ点 $\mathrm{B}\; (y=4)$ よりも下であるから、
$$1<k<4$$
である。従って、$y=k\;(1<k<4)$ と $\mathrm{AB}$, $\mathrm{OB}$ の交点 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ の座標は

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} \mathrm{Q}(k-2,k)\\ \mathrm{R}(\displaystyle\frac{k}{2},k) \end{array} \end{eqnarray}$$

と置ける。

このとき、

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{BQR} &=& \left\{\frac{k}{2}-(k-2)\right\}\times(4-k)\times\frac{1}{2}\\ &=& (2-\frac{k}{2})\times (4-k)\times\frac{1}{2}\\ &=& \frac{1}{2}(4-k)\times (4-k)\times\frac{1}{2}\\ &=& \frac{1}{4}(4-k)^2 \end{eqnarray}$$

これが $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積 $3$ の半分になればよいから、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} \displaystyle\frac{1}{4}(4-k)^2 = \displaystyle\frac{3}{2}\\ (4-k)^2=6\quad (\rightarrow\text{解説1})\\ 4-k = \pm\sqrt{6}\\ \therefore\; k=4-\sqrt{6}\quad (\because k<4)\quad (\rightarrow\text{解説2}) \end{array} \end{eqnarray}$$

よって、求める直線は、

$$y=4-\sqrt{6}$$

解説1. 計算は工夫しよう（展開しない）

　もちろん展開しても解けますが、展開しなくても解けます。展開して解いても、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} 16-8k+k^2=6\\ k^2-8k+10=0\\ k=4\pm\sqrt{16-10}=4\pm\sqrt{6} \end{array} \end{eqnarray}$$

となり、もちろん同じ結果にはなりますが、展開しない方が楽に解けます。

細かいことではありますが、このような工夫ができるかどうかで計算の速さや正確性がかなり変わります。

解説2. $+$ の方はどうなった？

　$+$ の方は図のように $\mathrm{B}$ の上側に三角形を作ることを意味します。もちろんこれは $\triangle\mathrm{OAB}$ を二等分するものではないので不適切です。

この不適切なものを排除するために
$$1<k<4$$
の記述があります。特に、$k<4$ です。

パターン5. 台形の分割

　これは直接的には二次関数とは無関係です。無関係ではありますが、パターン0の問題でいろいろ計算させた後、このような問題につながるケースがありますので、二次関数のこのパターンの中に入れました。

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解. 頂点を通る直線での分割

　三角形の頂点を通る直線で分割する場合は、底辺の中点を通せばよいです。それの台形版で、考え方は同じです。

解

明らかに $\triangle\mathrm{OAC}<\triangle\mathrm{ODC}$ より、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{CD}$ 上である。

まず、点 $\mathrm{D}$ の座標は、

$$\mathrm{D}(-\frac{2}{3},-\frac{4}{3})$$

($\rightarrow$ 丁寧に求める：解説1)

である。

ここで、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{OA}:\mathrm{CD} &=& 1:\frac{4}{3}\\ &=& 6:8 \end{eqnarray}$$

であるから、点 $\mathrm{P}$ は 線分 $\mathrm{CD}$ を

$$\mathrm{CP}:\mathrm{PD}=1:7$$

に分ければよい。

($\rightarrow$ 底辺の比を考える：解説2)

よって、点 $\mathrm{P}$ の座標は

$$\mathrm{P}(-\frac{11}{6},-\frac{1}{6})$$

($\rightarrow$ 丁寧に求める：解説3)

よって、求める直線 $\mathrm{OP}$ は、

$$y=\frac{1}{11}x$$

解説1. 点 $\mathrm{D}$ の座標を丁寧に求める

点 $\mathrm{D}$ は、直線 $\mathrm{OD}$ と直線 $\mathrm{CD}$ の交点です。

ここで、直線 $\mathrm{OD}$ の方程式は、$\mathrm{B}$ の座標から、

$$y=2x$$

と分かります。また、直線 $\mathrm{CD}$ は、点 $\mathrm{C}$ を通り、傾きが $\mathrm{AO}$ と同じ、すわわち $-1$ なので、その方程式は、

$$y=-(x+2)$$

となります。

直線の式を楽に求める方法は↓の記事に記載がありますので参照ください。

よって、求めたい点 $\mathrm{D}$ の座標は次の連立方程式の解です。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=2x\\ y=-(x+2) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

この連立方程式を解けば点 $\mathrm{D}$ の座標となります。

交点の座標が連立方程式の解で求まることは↓の記事に記載があります。初歩的な内容ではありますが、ぜひ参照ください。

解説2. $\mathrm{CP}:\mathrm{PD}=1:7$ は底辺の比を考える

　まず、図を形式的に理解をすれば、

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{OA}+\mathrm{CP} = ⑥+① = ⑦\\ \mathrm{PD} = ⑦\tag{1}\label{p4338eq1} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

となり、どちらも⑦で等しいです。なぜこれで二等分になるのかを理解します。ポイントは、

青の台形と赤の三角形の高さが共通である

ということです。

高さが共通なので底辺の比が面積比になる

というのが結論なのですが、そのことを式でも理解します。

共通の高さを $h$ と置きます。青の台形の面積を $S_1$、赤の三角形の面積を $S_2$ とすると、

$$\begin{eqnarray} S_1 &=& (\mathrm{OA}+\mathrm{CP})\times h\times\frac{1}{2}\\ S_2 &=& \mathrm{PD}\times h\times\frac{1}{2} \end{eqnarray}$$

なので、

$$\begin{eqnarray} S_1 : S_2 &=& (\mathrm{OA}+\mathrm{CP})\times h\times\frac{1}{2}:\mathrm{PD}\times h\times\frac{1}{2}\\ &=& (\mathrm{OA}+\mathrm{CP}):\mathrm{PD} \end{eqnarray}$$

となります。従って$\eqref{p4338eq1}$のように

$$\mathrm{OA}+\mathrm{CP}=\mathrm{PD}$$

となっていれば

$$S_1=S_2$$

というわけです。

解説3. 点 $\mathrm{P}$ の座標を丁寧に求める

　点 $\mathrm{P}$ は

$$\mathrm{CP}:\mathrm{PD}=1:7$$

を満たす点である、ということが理解できています。ここで、$\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ の座標はそれぞれ、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} \mathrm{C}(-2,0)\\ \mathrm{D}(-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}) \end{array} \end{eqnarray}$$

なわけですが、$x$ 座標と $y$ 座標に分けて考えます。

$\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ の $x$ 座標はそれぞれ、

$$\begin{eqnarray} \begin{array}{c} \mathrm{C_x}=-2\\ \mathrm{D_x}=-\displaystyle\frac{2}{3} \end{array} \end{eqnarray}$$

なので、その距離は

$$\begin{eqnarray} \mathrm{D_x}-\mathrm{C_x} &=& -\frac{2}{3}-(-2)\\ &=& \frac{4}{3} \end{eqnarray}$$

です。この距離を $1:7$ に分割するので、$\mathrm{P}$ の $x$ 座標を $\mathrm{P_x}$ と書くと、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{C_xP_x} &=& \frac{4}{3}\times\frac{1}{8}\\ &=& \frac{1}{6}\\ \mathrm{P_xD_x} &=& \frac{4}{3}\times\frac{7}{8}\\ &=& \frac{7}{6} \end{eqnarray}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{P_x} &=& \mathrm{C_x}+\frac{1}{6}\\ &=& -2+\frac{1}{6}\\ &=& -\frac{11}{6} \end{eqnarray}$$

と求まります。$y$ 座標も同様に、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{P_y} &=& \mathrm{C_y}-\frac{4}{3}\times\frac{1}{8}\\ &=& 0-\frac{1}{6}\\ &=& -\frac{1}{6} \end{eqnarray}$$

と求まります。

まとめ

　二次関数の面積問題を見てきました。この分野は入試で頻出です。中でもパターン0はライバルも解いてくる問題なので確実に解けるようにしましょう。それ以降の5パターンで差がついてくると思います。

実際の入試問題の例は↓の記事にまとめましたので、トライしてみてください。