【角の二等分線からの発想#2】外角からの二等辺三角形

　角の二等分線を見たときにまず考えたい発想は線分比です。他には、二等辺三角形が隠れている場合がある、という発想です。ここでは難易度は少し高いが重要な発想「外角」を扱います。

初級の#1↓がまだの方は是非そちらも、またここまで発想が養われた方は実際の高校入試の#3↓↓にチャレンジしてみてください。

初級：裏返しの相似

　ここはまだ二等辺三角形は隠れていません。その前段階の問題です。ここは難なくクリアしたいところです。

イメージ

解

$\triangle\mathrm{BAP}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BCA}$ より、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{BA}:\mathrm{BC} &=& \mathrm{BP}:\mathrm{BA}\\ 6:\mathrm{BC} &=& 4:6\\ \therefore\; \mathrm{BC} &=& 9 \end{eqnarray}$$

解説

　ここまでは↓の初級とほぼ同じのため、ここでは割愛します。

上級：角の二等分線が加わる

　さて、一気に難しくなりました。でも、まずは初級で養われた発想から $\mathrm{BC}$ の長さはすぐに分かるというところを出発点にしたいです。その上で、二等辺三角形が隠れている発想が引き出せるか、です。

イメージ

解

$\triangle\mathrm{BAP}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BCA}$ より、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{BA}:\mathrm{BC} &=& \mathrm{BP}:\mathrm{BA}\\ 6:\mathrm{BC} &=& 4:6\\ \therefore\; \mathrm{BC} &=& 9 \end{eqnarray}$$

ここで、

$$\angle\mathrm{AQB}=\angle\mathrm{ACQ}+\angle\mathrm{CAQ}$$

すなわち、

$\triangle\mathrm{ABQ}$ は二等辺三角形

なので、

$$\mathrm{BQ}=\mathrm{BA}=6$$

$$\therefore\;\mathrm{QC}=3$$

解説

　「角の二等分線#1」同様、二等辺三角形を発見することがミソになりますが、外角の定理を使う分だけ難易度が上がります。

しかしこの手の問題は特に難関校では結構よく出てくるのでしっかりと押さえておきたい発想です。

なお、この発想はこの記事↓でも述べています。

まとめ

　角の二等分線の引き方を「角の二等分線#1」と変えましたが、二等辺三角形が隠れていることは同様でした。#1ではそのままの角度で二等辺三角形が発見できたのに対し、こちらの場合は外角に着目する必要があり難易度が上がっています。#1と#2を連続的に学ぶことにより、

という引き出しを持っておきましょう。

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