ちょうちょ型相似の入試問題 難問例 裏ワザ的解法も紹介

　基礎編で蝶々型を見抜けるようになった目で取り組んでみましょう。蝶々型で相似比を出して、その相似比から面積を出していきます。

また一方、蝶々型がうまく発見できなかった場合でも、座標軸を設定することにより強引に解くことができます(別解)。入試では必ずしも美しく解く必要はないので、このような裏ワザ的解き方ができるようになれば最後のダメ押しに有利です。

基礎編はこちら↓です。ここで蝶々型を見抜く目を養ってください。

問題1：23年 帝塚山学院泉ヶ丘

イメージ：蝶々型が3回も出てくる

解

(1) $\mathrm{BG}:\mathrm{GF}$ を求めよ。

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{ABG} &\unicode[sans-serif]{x223D}& \triangle\mathrm{EFG}\\ \mathrm{AB}:\mathrm{EF} &=& 3:1 \end{eqnarray}$$

より、

$$\mathrm{BG}:\mathrm{GF} = 3:1$$

(2) $\triangle\mathrm{GEF}$ の面積を求めよ。

$\mathrm{EF}$ の長さは $\mathrm{CD}$ の長さの $\displaystyle\frac{1}{3}$ であるから、底辺を $\mathrm{EF}$ とする三角形 $\triangle\mathrm{BEF}$ は平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ の $\displaystyle\frac{1}{3}\times\displaystyle\frac{1}{2}$ である。

さらに、$\triangle\mathrm{GEF}$ の面積は $\triangle\mathrm{BEF}$ の面積の $\displaystyle\frac{1}{4}$ である。

問題文より $\style{transform:matrix(1,0,-0.4,1,0,0)}{\square}{\mathrm{ABCD}}$ の面積は $60$ なので、

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{GEF} &=& \style{transform:matrix(1,0,-0.4,1,0,0)}{\square}{\mathrm{ABCD}}\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{4}\\ &=& 60\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{4}\\ &=& \frac{5}{2} \end{eqnarray}$$

(3) $\triangle\mathrm{HGI}$ の面積を求めよ。

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{ABH} &\unicode[sans-serif]{x223D}& \triangle\mathrm{CFH}\\ \mathrm{AB}:\mathrm{CF} &=& 3:2 \end{eqnarray}$$

より、

$$\mathrm{BH}:\mathrm{HF} = 3:2$$

(1)より $\mathrm{BG}:\mathrm{GF} = 3:1$ なので比をそろえると、

$$\mathrm{BH}:\mathrm{HG}:\mathrm{GF} = 12:3:5$$

ここで、

$$\triangle\mathrm{HGI}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{FGE}$$

であるから、その面積比は $3^2:5^2$ となる。

$$\begin{eqnarray} \therefore\;\triangle\mathrm{HGI} &=& \triangle\mathrm{FEG}\times\frac{3^2}{5^2}\\ &=& \frac{5}{2}\times\frac{9}{25}\\ &=& \frac{9}{10} \end{eqnarray}$$

別解：強引に解けると強い

　求めるべき線分比や面積は、問題の本質的な部分さえ守っておけば強引にでも出すことができます。この場合の本質的な部分とは、四角形が平行四辺形であること、そして $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ が $\mathrm{CD}$ の三等分点であることです。あとは面積が $60$ ということも問題文にありますが、線分比 $\mathrm{BG}:\mathrm{GF}$ を求めるには不要で、面積を求めるにしても四角形 $\mathrm{ABCD}$ に対する比さえ出せればあとはその比に $60$ を乗じれば出せます。

でもここでは分かりやすいよう $60$ も取り入れてやってみます。

より考えやすいよう、平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ を長方形 $\mathrm{ABCD}$ にして考えます。面積 $60$ ということから横 $10$、縦 $6$ とでもしてみましょう。

別解解答

　面積 $60$ の平行四辺形を同じ面積の長方形としても線分比や面積比は変わらない。よって問題文は下記の図で考えることができる。

ここで、直線 $\mathrm{BF}$ の式は

$$y=\frac{4}{10}x\tag{1}\label{p4088eq1}$$

である。同様に直線 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{AE}$ の式はそれぞれ

$$\begin{eqnarray} y &=& -\frac{6}{10}x+6\tag{2}\label{p4088eq2}\\ y &=& -\frac{4}{10}x+6\tag{3}\label{p4088eq3} \end{eqnarray}$$

である。

点 $\mathrm{H}$ は$\eqref{p4088eq1}$と$\eqref{p4088eq2}$の交点であり、両式から $y$ を消去して $x$ を求めると、

$$\begin{eqnarray} \frac{4}{10}x &=& -\frac{6}{10}x+6\\ x &=& 6\\ \therefore\; y &=& \frac{12}{5}\\ \end{eqnarray}$$

$$\therefore\;\mathrm{H}\left(6,\frac{12}{5}\right)$$

他も同様にして座標を求めると、

$$\mathrm{I}\left(6, \frac{18}{5}\right)$$

$$\mathrm{G}\left(\frac{15}{2}, 3\right)$$

よって、

$$\begin{eqnarray} \mathrm{BG}:\mathrm{GF} &=& \frac{15}{2}:\left(10-\frac{15}{2}\right)\\ &=& \frac{15}{2}:\frac{5}{2}\\ &=& 3:1 \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{GEF} &=& \frac{1}{2}\times2\times\left(10-\frac{15}{2}\right)\\ &=& \frac{5}{2} \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{HGI} &=& \frac{1}{2}\times\left(\frac{18}{5}-\frac{12}{5}\right)\times\left(\frac{15}{2}-6\right)\\ &=& \frac{1}{2}\times\frac{6}{5}\times\frac{3}{2}\\ &=& \frac{9}{10} \end{eqnarray}$$

まとめ

　実際の入試問題を扱いました。基礎編である#1↓では簡単だと思ったとしてもそれが組み合わさると途端に難しくなりますね。でも、一つ一つは基礎的なことなので、やはり基礎は大事です。その上で、その基礎をつないで行ける力が必要になります。

　このシリーズでは平面図形の問題に出会った際、教科書的な求め方はもちろん、それ以外の求め方にも触れることで発想法の引き出しを増やします。引き出しが増えれば問題を見た際に、さてどれで解こうかな、とパズル的な楽しみが出てきます。また、それら解法が点と点でつながり、さらに強固なイメージへとつながります。シリーズ最初はこちら↓です。

また、台形型相似も頻出です。こちら↓です。